完全互补函数

#数理经济学

定义：

f (x_{1}, x_{2}) = min {α x_{1}, β x_{2}}

效用最大化

\begin{aligned} max_{{x_{1}, x_{2}}} & u = min {α x_{1}, β x_{2}} \\ s.t. & p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} \geq m \end{aligned}

最优解满足

{\begin{cases} α x_{1} = β x_{2} \\ p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} = m \end{cases} ⟺ [\begin{matrix} α & - β \\ p_{1} & p_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ m \end{matrix}]

（使用 Cramer‘s law ）解得

\begin{aligned} x_{1}^{M} & = \frac{β m}{p_{1} β + p_{2} α} \\ x_{2}^{M} & = \frac{α m}{p_{1} β + p_{2} α} \end{aligned}

支出最小化

\begin{aligned} min_{{x_{1}, x_{2}}} & p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} \\ s.t. & min {α x_{1}, β x_{2}} \geq \bar{u} \end{aligned}

约束条件等价于

{\begin{cases} x_{1} \geq \frac{\bar{u}}{α} \\ x_{2} \geq \frac{\bar{u}}{β} \end{cases}

目标函数随 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 递增，解得

\begin{array}{r} x_{1}^{H} = \frac{\bar{u}}{α} \\ x_{2}^{H} = \frac{\bar{u}}{β} \end{array}

代入目标函数得到间接效用函数

ν = (\frac{w_{1}}{α} + \frac{w_{2}}{β}) \bar{u}

利润最大化

max_{{x_{1}, x_{2}}} p \times min {α x_{1}, β x_{2}} - w_{1} x_{1} - w_{2} x_{2}

生产函数边际产出不变，在竞争性结构下（价格为常数）没有最优解。

成本最小化

\begin{aligned} min_{{x_{1}, x_{2}}} & w_{1} x_{2} + w_{2} x_{2} \\ s.t. & min {α x_{1}, β x_{2}} \geq \bar{q} \end{aligned}

约束条件等价于

{\begin{cases} x_{1} \geq \frac{\bar{q}}{α} \\ x_{2} \geq \frac{\bar{q}}{β} \end{cases}

目标函数随 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 递增，解得

\begin{array}{r} x_{1}^{*} = \frac{\bar{q}}{α} \\ x_{2}^{*} = \frac{\bar{q}}{β} \end{array}

代入目标函数得到成本函数

c = (\frac{w_{1}}{α} + \frac{w_{2}}{β}) \bar{q}

完全互补函数也是一种 CRS函数，成本函数满足 $c (q, w) = q \cdot c (1, w)$ 形式。生产一单位产品需要的要素为 $x_{1} = \frac{1}{α} \land x_{2} = \frac{1}{β}$ ，对应的成本为 $\frac{w_{1}}{α} + \frac{w_{2}}{β}$ ，从而直接得到成本函数。

几何规律：等产量曲线（无差异曲线）是直角，成本函数（支出函数）就是直线。